18 (средняя) Найдите наименьшее натуральное число n такое, что в таком числе 91n можно представить в виде произведения трёх подряд идущих натуральных чисел.

Ищем наименьшее натуральное число n, для которого число \(91n\) представимо в виде произведения трёх последовательных натуральных чисел:

\[91n=k(k+1)(k+2).\]

Проверим последовательные произведения: \(1\cdot2\cdot3=6\), \(2\cdot3\cdot4=24\), \(3\cdot4\cdot5=60\), \(4\cdot5\cdot6=120\), \(5\cdot6\cdot7=210\), \(6\cdot7\cdot8=336\), \(7\cdot8\cdot9=504\), \(8\cdot9\cdot10=720\), \(9\cdot10\cdot11=990\).

Число \(990\) впервые делится на \(91\): \(990:91\) не является целым. Следующее произведение: \(10\cdot11\cdot12=1320\), также не делится на \(91\). \(11\cdot12\cdot13=1716\), и \(1716:91\) не является целым. \(12\cdot13\cdot14=2184\), \(2184:91=24\).

Следовательно, \(91n=2184\), поэтому \(n=24\).

Ответ: 24.