18. Сторона АВ треугольника АВС продолжена за точку В. На продолжении отмечена точка D так, что ВС = BD. Найдите величину угла BCD, если угол АСВ равен 15°, а угол ВАС равен 35°.

Решение:

Рассмотрим треугольник ABC:

1. Найдем угол ABC. Сумма углов треугольника равна 180°. \( \angle ABC = 180° - \angle BAC - \angle ACB \).
2. \( \angle ABC = 180° - 35° - 15° = 130° \).

Угол CBD является смежным углом для угла ABC:

1. \( \angle CBD = 180° - \angle ABC = 180° - 130° = 50° \).

Рассмотрим треугольник BCD:

1. По условию, BC = BD, значит, треугольник BCD — равнобедренный. Углы при основании равны.
2. \( \angle BCD = \angle BDC \).
3. Сумма углов в треугольнике BCD равна 180°. \( \angle CBD + \angle BCD + \angle BDC = 180° \).
4. \( 50° + 2 \cdot \angle BCD = 180° \).
5. \( 2 \cdot \angle BCD = 180° - 50° = 130° \).
6. \( \angle BCD = \frac{130°}{2} = 65° \).

Ответ: 65°.