18. Тип 16 № 472382 Синус угла между стороной и диагональю прямоугольника равен 12/13. Диаметр описанной около него окружности равен 13. Найдите площадь прямоугольника.

Решение:

Пусть дан прямоугольник \( ABCD \). Диагональ \( AC \) делит его на два прямоугольных треугольника, например \( \triangle ABC \).

Синус угла между стороной \( BC \) и диагональю \( AC \) равен \( \sin(\angle BAC) = \frac{12}{13} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

\(\sin(\angle BAC) = \frac{BC}{AC} \)

Так как \( AC \) является диагональю прямоугольника, она также является диаметром описанной окружности. По условию, диаметр \( AC = 13 \).

Следовательно, \(\frac{BC}{13} = \frac{12}{13} \), откуда \( BC = 12 \).

Теперь найдём длину стороны \( AB \) с помощью теоремы Пифагора в \( \triangle ABC \) или используя косинус \(\angle BAC \).

\(\cos(\angle BAC) = \sqrt{1 - \sin^2(\angle BAC)} = \sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{144}{169}} = \sqrt{\frac{169 - 144}{169}} = \sqrt{\frac{25}{169}} = \frac{5}{13} \)

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABC \):

\(\cos(\angle BAC) = \frac{AB}{AC} \)

\(\frac{AB}{13} = \frac{5}{13} \), откуда \( AB = 5 \).

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\( S = AB \cdot BC = 5 \cdot 12 = 60 \).

Ответ: 60.