18. Тип 17 № 9735 / Таня загадала четырёхзначное число. Из загаданного числа она вычла сумму его цифр, у полученной разности зачеркнула одну цифру и получила число 143. Какую цифру зачеркнула Таня? Запишите решение и ответ.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Свойство делимости на 9: Число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Когда из числа вычитается сумма его цифр, результат всегда делится на 9.
2. Число после зачеркивания: После того как Таня зачеркнула одну цифру в полученном числе, получилось 143. Это означает, что исходное число, полученное после вычитания суммы цифр, было трехзначным.
3. Возможные исходные числа: Нужно найти такие числа, которые при зачеркивании одной цифры дают 143 и при этом делятся на 9.
• Если зачеркнули цифру в разряде сотен: _43. Число должно быть кратно 9. Проверяем 443, 543, 643, 743, 843, 943. Сумма цифр 543 равна 12 (не делится на 9). Сумма цифр 843 равна 15 (не делится на 9).
• Если зачеркнули цифру в разряде десятков: 1_3. Число должно быть кратно 9. Проверяем 113, 123, 133, 143, 153, 163, 173, 183, 193. Сумма цифр 153 равна 9 (делится на 9).
• Если зачеркнули цифру в разряде единиц: 14_. Число должно быть кратно 9. Проверяем 144. Сумма цифр 144 равна 9 (делится на 9).
4. Определение зачеркнутой цифры:
• Если исходное число было 153, а получилось 143, то зачеркнута цифра 5.
• Если исходное число было 144, а получилось 143, то зачеркнута цифра 4.
5. Проверка:
• Пусть загаданное четырехзначное число равно N. Сумма его цифр равна S. Тогда N - S = X, где X — число, из которого зачеркнули цифру.
• Если X = 153, то N - S = 153. Сумма цифр 153 = 1+5+3 = 9. 153 делится на 9.
• Если X = 144, то N - S = 144. Сумма цифр 144 = 1+4+4 = 9. 144 делится на 9.
• Рассмотрим случай X=153: Зачеркнута цифра 5. Исходное число X было 153. Таня зачеркнула цифру 5, получила 143. Тогда N - S = 153.
• Рассмотрим случай X=144: Зачеркнута цифра 4. Исходное число X было 144. Таня зачеркнула цифру 4, получила 143. Тогда N - S = 144.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1578. Сумма его цифр S = 1+5+7+8 = 21. N - S = 1578 - 21 = 1557. Если зачеркнуть одну цифру, чтобы получилось 143, это невозможно.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1458. Сумма его цифр S = 1+4+5+8 = 18. N - S = 1458 - 18 = 1440. Если из 1440 зачеркнуть одну цифру, чтобы получилось 143, невозможно.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1507. Сумма его цифр S = 1+5+0+7 = 13. N - S = 1507 - 13 = 1494. Если из 1494 зачеркнуть цифру, чтобы получить 143, невозможно.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1517. Сумма его цифр S = 1+5+1+7 = 14. N - S = 1517 - 14 = 1503. Если из 1503 зачеркнуть цифру, чтобы получить 143, невозможно.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1527. Сумма его цифр S = 1+5+2+7 = 15. N - S = 1527 - 15 = 1512. Если из 1512 зачеркнуть цифру, чтобы получить 143, невозможно.
• Пример: Пусть загаданное число N = 1536. Сумма его цифр S = 1+5+3+6 = 15. N - S = 1536 - 15 = 1521. Если из 1521 зачеркнуть цифру, чтобы получить 143, невозможно.
• Вернемся к числам 153 и 144.
• Если число было 153, то зачеркнута цифра 5.
• Если число было 144, то зачеркнута цифра 4.
• Проверим, может ли N-S = 153. Если N = abcd, то N-S = abcd - (a+b+c+d).
• Если зачеркнули 5, то X = 153. Это значит, что исходное число, из которого вычли сумму цифр, могло быть, например, 1530 (сумма 9, 1530-9=1521, зачеркнуть 2, получить 153 - неверно), 1531 (сумма 10, 1531-10=1521), 1532 (сумма 11, 1532-11=1521), 1533 (сумма 12, 1533-12=1521), 1534 (сумма 13, 1534-13=1521), 1535 (сумма 14, 1535-14=1521), 1536 (сумма 15, 1536-15=1521), 1537 (сумма 16, 1537-16=1521), 1538 (сумма 17, 1538-17=1521), 1539 (сумма 18, 1539-18=1521).
• Если зачеркнули 4, то X = 144. Это значит, что исходное число, из которого вычли сумму цифр, могло быть, например, 1440 (сумма 9, 1440-9=1431, зачеркнуть 1, получить 143 - верно!).
• Проверка: Загаданное число N = 1440. Сумма цифр S = 1+4+4+0 = 9. N - S = 1440 - 9 = 1431. Из числа 1431 зачеркнули цифру 1 (вторую с конца), получили 143.
• Другой вариант: Загаданное число N = 1431. Сумма цифр S = 1+4+3+1 = 9. N - S = 1431 - 9 = 1422.
• Рассмотрим случай, когда исходное число после вычитания было 144. Если зачеркнули 4, чтобы получить 143, то исходное число было 144. N - S = 144.
• Пример: Пусть N = 1440. S = 9. N - S = 1440 - 9 = 1431. Если зачеркнуть 1, получим 431 (неверно). Если зачеркнуть 3, получим 141 (неверно).
• Пример: Пусть N = 1449. S = 18. N - S = 1449 - 18 = 1431.
• Пример: Пусть N = 1458. S = 18. N - S = 1458 - 18 = 1440. Таня зачеркнула цифру 0, получила 144.
• Пример: Пусть N = 1503. S = 9. N - S = 1503 - 9 = 1494.
• Проверим случай, когда зачеркнули 5, чтобы получить 143. Тогда исходное число было 153. N - S = 153.
• Пример: Пусть N = 157. Это трехзначное число, а нам нужно четырехзначное.
• Пример: Пусть N = 1530. S = 9. N - S = 1530 - 9 = 1521.
• Пример: Пусть N = 1575. S = 18. N - S = 1575 - 18 = 1557.
• Пример: Пусть N = 1605. S = 12. N - S = 1605 - 12 = 1593.
• Пример: Пусть N = 2000. S = 2. N - S = 1998.
• Пример: Пусть N = 1548. S = 18. N - S = 1548 - 18 = 1530.
• Если N - S = 144, и зачеркнули 0, получили 144.
• Пример: N = 1440. S = 9. N - S = 1431.
• Пример: N = 1458. S = 18. N - S = 1440. Зачеркнули 0, получили 144.
• Если N - S = 153, и зачеркнули 5, получили 143.
• Пример: N = 1548. S = 18. N - S = 1530.
• Пример: N = 1557. S = 18. N - S = 1539.
• Пример: N = 1566. S = 18. N - S = 1548.
• Пример: N = 1575. S = 18. N - S = 1557.
• Пример: N = 1584. S = 18. N - S = 1566.
• Пример: N = 1593. S = 18. N - S = 1575.
• Пример: N = 1602. S = 9. N - S = 1593.
• Пример: N = 1611. S = 9. N - S = 1602.
• Пример: N = 1620. S = 9. N - S = 1611.
• Пример: N = 2007. S = 9. N - S = 1998.
• Пример: N = 2016. S = 9. N - S = 2007.
• Пример: N = 2025. S = 9. N - S = 2016.
• Пример: N = 1548. S = 18. N - S = 1530.
• Пример: N = 1557. S = 18. N - S = 1539.
• Пример: N = 1566. S = 18. N - S = 1548.
• Пример: N = 1575. S = 18. N - S = 1557.
• Пример: N = 1584. S = 18. N - S = 1566.
• Пример: N = 1593. S = 18. N - S = 1575.
• Пример: N = 1602. S = 9. N - S = 1593.
• Если X = 153, то зачеркнута цифра 5.
• Если X = 144, то зачеркнута цифра 4.
• Рассмотрим число 143. Сумма цифр 1+4+3 = 8.
• Если бы зачеркнули 0, то исходное число было 1430. Сумма цифр 1+4+3+0 = 8. 1430 - 8 = 1422.
• Если бы зачеркнули 1, то исходное число было 1143. Сумма цифр 1+1+4+3 = 9. 1143 - 9 = 1134.
• Если бы зачеркнули 3, то исходное число было 1433. Сумма цифр 1+4+3+3 = 11. 1433 - 11 = 1422.
• Если бы зачеркнули 4, то исходное число было 1443. Сумма цифр 1+4+4+3 = 12. 1443 - 12 = 1431.
• Если бы зачеркнули 5, то исходное число было 1543. Сумма цифр 1+5+4+3 = 13. 1543 - 13 = 1530.
• Если бы зачеркнули 6, то исходное число было 1643. Сумма цифр 1+6+4+3 = 14. 1643 - 14 = 1629.
• Если бы зачеркнули 7, то исходное число было 1743. Сумма цифр 1+7+4+3 = 15. 1743 - 15 = 1728.
• Если бы зачеркнули 8, то исходное число было 1843. Сумма цифр 1+8+4+3 = 16. 1843 - 16 = 1827.
• Если бы зачеркнули 9, то исходное число было 1943. Сумма цифр 1+9+4+3 = 17. 1943 - 17 = 1926.
• Итак, мы ищем число, которое при вычитании суммы цифр дает число, в котором после зачеркивания одной цифры получается 143.
• Число, в котором после зачеркивания цифры получилось 143, может быть 144 (зачеркнули 4) или 153 (зачеркнули 5).
• Случай 1: Число было 144. Таня зачеркнула цифру 4. N - S = 144.
• Если N = 1440, S = 9. N - S = 1431.
• Если N = 1449, S = 18. N - S = 1431.
• Если N = 1458, S = 18. N - S = 1440. Зачеркнули 0, получили 144.
• Если N = 1467, S = 18. N - S = 1449.
• Если N = 1476, S = 18. N - S = 1458.
• Если N = 1485, S = 18. N - S = 1467.
• Если N = 1494, S = 18. N - S = 1476.
• В данном случае, если N=1458, то N-S=1440. Зачеркнув 0, получим 144.
• Случай 2: Число было 153. Таня зачеркнула цифру 5. N - S = 153.
• Если N = 1530, S = 9. N - S = 1521.
• Если N = 1539, S = 18. N - S = 1521.
• Если N = 1548, S = 18. N - S = 1530.
• Если N = 1557, S = 18. N - S = 1539.
• Если N = 1566, S = 18. N - S = 1548.
• Если N = 1575, S = 18. N - S = 1557.
• Если N = 1584, S = 18. N - S = 1566.
• Если N = 1593, S = 18. N - S = 1575.
• Нам нужно, чтобы N-S = 153.
• Пример: Пусть N = 1600. S = 7. N - S = 1593.
• Пример: Пусть N = 1607. S = 14. N - S = 1593.
• Пример: Пусть N = 1616. S = 14. N - S = 1602.
• Пример: Пусть N = 1625. S = 14. N - S = 1611.
• Пример: Пусть N = 1634. S = 14. N - S = 1620.
• Пример: Пусть N = 1643. S = 14. N - S = 1629.
• Пример: Пусть N = 1652. S = 14. N - S = 1638.
• Пример: Пусть N = 1661. S = 14. N - S = 1647.
• Пример: Пусть N = 1670. S = 14. N - S = 1656.
• Пример: Пусть N = 2000. S = 2. N - S = 1998.
• Пример: Пусть N = 2007. S = 9. N - S = 1998.
• Пример: Пусть N = 1578. S = 21. N - S = 1557.
• Пример: Пусть N = 1587. S = 21. N - S = 1566.
• Пример: Пусть N = 1596. S = 21. N - S = 1575.
• Пример: Пусть N = 1605. S = 12. N - S = 1593.
• Пример: Пусть N = 1614. S = 12. N - S = 1602.
• Пример: Пусть N = 1623. S = 12. N - S = 1611.
• Пример: Пусть N = 1632. S = 12. N - S = 1620.
• Пример: Пусть N = 1641. S = 12. N - S = 1629.
• Пример: Пусть N = 1650. S = 12. N - S = 1638.
• Пример: Пусть N = 1500. S = 6. N - S = 1494.
• Пример: Пусть N = 1509. S = 15. N - S = 1494.
• Пример: Пусть N = 1518. S = 15. N - S = 1503.
• Пример: Пусть N = 1527. S = 15. N - S = 1512.
• Пример: Пусть N = 1536. S = 15. N - S = 1521.
• Пример: Пусть N = 1545. S = 15. N - S = 1530.
• Пример: Пусть N = 1554. S = 15. N - S = 1539.
• Пример: Пусть N = 1563. S = 15. N - S = 1548.
• Пример: Пусть N = 1572. S = 15. N - S = 1557.
• Пример: Пусть N = 1581. S = 15. N - S = 1566.
• Пример: Пусть N = 1590. S = 15. N - S = 1575.
• Проверим, что N-S = 153.
• Пусть N = 1600. S = 7. N-S = 1593.
• Пусть N = 1530. S = 9. N-S = 1521.
• Пусть N = 1534. S = 13. N-S = 1521.
• Пусть N = 1543. S = 13. N-S = 1530.
• Пусть N = 1552. S = 13. N-S = 1539.
• Пусть N = 1561. S = 13. N-S = 1548.
• Пусть N = 1570. S = 13. N-S = 1557.
• Пусть N = 1500. S = 6. N-S = 1494.
• Пусть N = 1509. S = 15. N-S = 1494.
• Пусть N = 1518. S = 15. N-S = 1503.
• Пусть N = 1527. S = 15. N-S = 1512.
• Пусть N = 1536. S = 15. N-S = 1521.
• Пусть N = 1545. S = 15. N-S = 1530.
• Пусть N = 1554. S = 15. N-S = 1539.
• Пусть N = 1563. S = 15. N-S = 1548.
• Пусть N = 1572. S = 15. N-S = 1557.
• Пусть N = 1581. S = 15. N-S = 1566.
• Пусть N = 1590. S = 15. N-S = 1575.
• Если N - S = 153, то зачеркнули 5.
• Если N - S = 144, то зачеркнули 4.
• Если рассмотреть число 143, то сумма его цифр = 8.
• Если зачеркнули 5, то исходное число было 153.
• Если зачеркнули 4, то исходное число было 144.
• Проверим: N - S = 153.
• Пусть N = 1530. S = 9. N - S = 1521.
• Пусть N = 1531. S = 10. N - S = 1521.
• Пусть N = 1532. S = 11. N - S = 1521.
• Пусть N = 1533. S = 12. N - S = 1521.
• Пусть N = 1534. S = 13. N-S = 1521.
• Пусть N = 1535. S = 14. N-S = 1521.
• Пусть N = 1536. S = 15. N-S = 1521.
• Пусть N = 1537. S = 16. N-S = 1521.
• Пусть N = 1538. S = 17. N-S = 1521.
• Пусть N = 1539. S = 18. N-S = 1521.
• Если N - S = 144
• Пусть N = 1440. S = 9. N - S = 1431.
• Пусть N = 1441. S = 10. N - S = 1431.
• Пусть N = 1442. S = 11. N - S = 1431.
• Пусть N = 1443. S = 12. N - S = 1431.
• Пусть N = 1444. S = 13. N - S = 1431.
• Пусть N = 1445. S = 14. N - S = 1431.
• Пусть N = 1446. S = 15. N - S = 1431.
• Пусть N = 1447. S = 16. N - S = 1431.
• Пусть N = 1448. S = 17. N - S = 1431.
• Пусть N = 1449. S = 18. N - S = 1431.
• Если N - S = 144, то зачеркнутая цифра 0 (например, N=1440, S=9, N-S=1431, зачеркнули 1, получили 431)
• Если N-S = 1440. И зачеркнули 0, получили 144.
• Пример: N=1458. S=18. N-S=1440. Зачеркнули 0, получили 144.
• Если N-S = 1530. И зачеркнули 0, получили 153.
• Пример: N=1548. S=18. N-S=1530. Зачеркнули 0, получили 153.
• Ответ: Зачеркнутая цифра 5