18. Точки C и D расположены по разные стороны от прямой AB так, что AD = AC, BD = DC. Докажите, что AB — биссектриса угла DAC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники \( △ ADC \) и \( △ ADB \).

1. AD = AC (дано).
2. BD = DC (дано).
3. AB — общая сторона для \( △ ADB \) и \( △ ACB \) (внутри \( △ ADC \) и \( △ ADB \) - это не общая сторона, это сторона, связывающая точки A и B).

В данном случае, мы имеем два треугольника \( △ ADC \) и \( △ ADB \). Нам дано, что \( AD = AC \) и \( BD = DC \). Это означает, что точки C и D находятся на одинаковом расстоянии от точки A и точки B соответственно. Однако, для доказательства того, что AB является биссектрисой угла DAC, нам нужно рассмотреть другие треугольники, где AB является общей стороной, или использовать свойства равнобедренных треугольников.

Давайте рассмотрим треугольники \( △ ABC \) и \( △ ABD \).

1. AC = AD (дано).
2. BC = BD (дано).
3. AB — общая сторона для \( △ ABC \) и \( △ ABD \).

Следовательно, \( △ ABC = △ ABD \) по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует, что соответствующие углы равны. Таким образом:

• \( ∠ BAC = ∠ BAD \)

Поскольку AB делит угол DAC на два равных угла, то AB является биссектрисой угла DAC.

Доказано.