18. Точки M и P лежат по одну сторону от прямой b. Перпендикуляры MN и PQ, проведённые к прямой b, равны. Точка O — середина отрезка NQ. а) Докажите, что ∠OMP = ∠OPM; б) найдите ∠NOM, если ∠MOP = 105°.

а) Так как MN и PQ — перпендикуляры к одной прямой b, то MN ∥ PQ. По условию MN = PQ.

Четырёхугольник MNPQ имеет одну пару противоположных сторон, равных и параллельных, поэтому является параллелограммом. Следовательно, MP ∥ NQ.

Точка O — середина NQ. В параллелограмме диагонали пересекаются и делятся пополам, поэтому O также является серединой MP.

Значит, \(OM = OP\). Треугольник OMP равнобедренный, поэтому его углы при основании равны:

\(\angle OMP = \angle OPM\).

б) В треугольнике OMP:

\(\angle OMP = \angle OPM = \dfrac{180^\circ - 105^\circ}{2} = 37{,}5^\circ\).

Так как MP ∥ NQ, а лучи OM и ON направлены противоположно, то углы \(\angle OMP\) и \(\angle NOM\) являются соответственными при пересечении параллельных прямых секущей OM. Поэтому:

Ответ: а) \(\angle OMP = \angle OPM\); б) \(\angle NOM = 37{,}5^\circ\).