18. В единичном кубе \(A...D_1\) найдите угол между прямыми \(AB\) и \(DB_1\).

Возьмём координаты \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(B_1(1,0,1)\).

Направляющие векторы: \(\overrightarrow{AB}=(1,0,0)\), \(\overrightarrow{DB_1}=(1,-1,1)\).

Для угла между прямыми используем формулу через модуль скалярного произведения:

\(\cos\varphi=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{DB_1}|}{|\overrightarrow{AB}|\,|\overrightarrow{DB_1}|}=\dfrac{1}{1\cdot\sqrt{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\).

Следовательно, \(\varphi=\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).

Ответ: \(\arccos\dfrac{1}{\sqrt{3}}\approx54.7^\circ\).