18. В единичном кубе A…D₁ найдите угол между прямыми AB и DB₁.

Зададим координаты: A(0; 0; 0), B(1; 0; 0), D(0; 1; 0), B₁(1; 0; 1).

Направляющие векторы прямых: \(\overrightarrow{AB}=(1;0;0)\), \(\overrightarrow{DB_1}=(1;-1;1)\). Их скалярное произведение равно 1, а длины — 1 и \(\sqrt{3}\).

По формуле косинуса угла между прямыми получаем \(\cos\varphi=\frac{|1|}{1\cdot\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\).

Ответ: \(\varphi=\arccos\frac{1}{\sqrt{3}}\approx54{,}7°\).