18 В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ провели высоту CD и биссектрису CL. Найдите величину угла DCL, если ∠CAB = 25°. Ответ дайте в градусах.

1. Анализ условия

У нас есть прямоугольный треугольник ABC, где $$\angle C = 90^​\circ$$.

Проведены:

• Высота CD: $$CD \perp AB$$.
• Биссектриса CL: делит $$\angle ACB$$ пополам.

Известно, что $$\angle CAB = 25^​\circ$$.

Нужно найти $$\angle DCL$$.

2. Расчет углов в треугольнике ABC

В прямоугольном треугольнике ABC сумма углов равна $$180^​\circ$$.

$$\angle ABC = 180^​\circ - 90^​\circ - \angle CAB = 180^​\circ - 90^​\circ - 25^​\circ = 65^​\circ$$.

3. Угол, образованный биссектрисой

CL — биссектриса $$\angle ACB$$.

$$\angle ACL = \angle BCL = \frac{\angle ACB}{2} = \frac{90^​\circ}{2} = 45^​\circ$$.

4. Угол в прямоугольном треугольнике ADC

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC ($$\\angle CDA = 90^​\circ$$).

$$\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD$$.

Нам нужно найти $$\angle BCD$$ в треугольнике BCD. В нем $$\\angle CDB = 90^​\circ$$ и $$\\angle CBD = \angle ABC = 65^​\circ$$.

$$\angle BCD = 180^​\circ - 90^​\circ - 65^​\circ = 25^​\circ$$.

Теперь мы можем найти $$\angle ACD$$:

$$\angle ACD = \angle ACB - \angle BCD = 90^​\circ - 25^​\circ = 65^​\circ$$.

Альтернативный способ: В прямоугольном треугольнике ADC $$\\angle CAD = 25^​\circ$$ и $$\\angle CDA = 90^​\circ$$. Следовательно, $$\\angle ACD = 180^​\circ - 90^​\circ - 25^​\circ = 65^​\circ$$.

5. Нахождение угла DCL

Угол DCL находится как разница между углами ACL и ACD:

$$\angle DCL = \angle ACL - \angle ACD$$

$$\angle DCL = 45^​\circ - 65^​\circ$$

Здесь возникает отрицательный результат, это значит, что точка D находится между C и L, или проще сказать, что мы взяли углы в неправильном порядке. То есть, угол DCL будет равен модулю разницы:

$$\angle DCL = | \angle ACL - \angle ACD | = |45^​\circ - 65^​\circ| = |-20^​\circ| = 20^​\circ$$.

Или, что то же самое, $$\angle DCL = \angle BCD - \angle BCL = 25^​\circ - 45^​\circ$$. Это неверно. Надо использовать $$\angle ACD$$.

Правильнее так:

$$\angle DCL = \angle ACD - \angle ACL = 65^​\circ - 45^​\circ = 20^​\circ$$.

Альтернативное решение:

В прямоугольном треугольнике $$\triangle ABC$$: $$\angle A = 25^​\circ$$, $$\angle B = 65^​\circ$$.

В $$\triangle ADC$$: $$\angle A = 25^​\circ$$, $$\angle ADC = 90^​\circ$$, $$\angle ACD = 65^​\circ$$.

В $$\triangle BDC$$: $$\angle B = 65^​\circ$$, $$\angle BDC = 90^​\circ$$, $$\angle BCD = 25^​\circ$$.

$$\angle ACL = 45^​\circ$$ (так как CL - биссектриса).

$$\angle DCL = \angle ACD - \angle ACL = 65^​\circ - 45^​\circ = 20^​\circ$$.

Или

$$\angle DCL = \angle BCL - \angle BCD = 45^​\circ - 25^​\circ = 20^​\circ$$.

Ответ: $$20^​\circ$$