18. В треугольнике АВС стороны АВ и АС равны. На стороне АС взяли точки Х и Ү так, что точка Х лежит между точками А и У и АХ = BX = BY. Найди величину угла СВУ, если ∠BY C = 96°.

1. Так как AB = AC, треугольник ABC равнобедренный. Пусть ∠ABC = ∠ACB = α.

2. Так как AX = BX, треугольник ABX равнобедренный. Пусть ∠ABX = ∠BAX = β. Тогда ∠AXB = 180° - 2β.

3. Так как AX = BY, и AX = BX, то BX = BY. Треугольник BXY равнобедренный. Угол ∠BXY = 180° - ∠AXB = 180° - (180° - 2β) = 2β. Угол ∠XBY = 180° - 2 * ∠BXY = 180° - 2 * 2β = 180° - 4β.

4. Угол ∠ABC = ∠ABX + ∠XBY + ∠CBY. α = β + (180° - 4β) + ∠CBY = β + 180° - 4β + ∠CBY = 180° - 3β + ∠CBY.

5. В треугольнике BYC: ∠YBC + ∠BCY + ∠BYC = 180°. ∠YBC + α + 96° = 180°. ∠YBC = 84° - α.

6. Угол ∠CBY = ∠ABC - ∠ABY. ∠ABY = ∠ABX + ∠XBY = β + 180° - 4β = 180° - 3β. ∠CBY = α - (180° - 3β) = α + 3β - 180°.

7. Приравниваем два выражения для ∠CBY: 84° - α = α + 3β - 180°. 2α + 3β = 264°.

8. В треугольнике ABC: ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°. β + α + α = 180°. β = 180° - 2α.

9. Подставляем β в уравнение из шага 7: 2α + 3(180° - 2α) = 264°. 2α + 540° - 6α = 264°. 4α = 276°. α = 69°.

10. Находим β: β = 180° - 2 * 69° = 180° - 138° = 42°.

11. Находим ∠CBY: ∠CBY = 84° - α = 84° - 69° = 15°.