18) Василий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые изделия, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование. В результате если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно 16t³ часов в неделю, то за эту неделю они производят t изделий, и если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t³ часов в неделю, то они производят t изделий. За каждый час работы (на каждом из заводов) Василий платит рабочему 250 рублей. Необходимо, чтобы за неделю суммарно производилось 20 изделий. Какую наименьшую сумму (в млн рублей) придётся тратить владельцу заводов еженедельно на оплату труда рабочих?

Пусть первый завод производит \(t_1\) изделий, а второй — \(t_2\). Тогда \(t_1+t_2=20\), где \(t_1,t_2\ge0\). Число человеко-часов составляет соответственно \(16t_1^3\) и \(t_2^3\). Нужно минимизировать их сумму.

Подставим \(t_2=20-t_1\): \(H(t_1)=16t_1^3+(20-t_1)^3\), при \(0\le t_1\le20\).

Находим критическую точку: \(H'(t_1)=48t_1^2-3(20-t_1)^2=0\). Так как количества неотрицательны, получаем \(4t_1=20-t_1\), то есть \(t_1=4\) и \(t_2=16\).

Это минимум: \(H''(t_1)=96t_1+6(20-t_1)>0\) на рассматриваемом отрезке. При таком распределении нужно \(16\cdot4^3+16^3=1024+4096=5120\) человеко-часов.

Оплата составит \(5120\cdot250=1\,280\,000\) рублей, то есть 1,28 млн рублей.

Ответ: 1,28 млн рублей в неделю.