18. Задумали двузначное число. Когда это число умножили на произведение его цифр, получилось 1995. Какое число задумали? Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть двузначное число состоит из цифр \(a\) (десятки) и \(b\) (единицы). Число можно представить как \(10a + b\).

Произведение цифр равно \(a \cdot b\).

По условию задачи, мы имеем уравнение:

\((10a + b) \cdot (a \cdot b) = 1995\)

Разложим число 1995 на множители:

\(1995 = 5 \cdot 399 = 5 \cdot 3 \cdot 133 = 5 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 19\)

Так как \(10a + b\) — это двузначное число, а \(a\) и \(b\) — цифры от 0 до 9 (причем \(a\) не может быть 0), нам нужно найти такие множители, чтобы получить двузначное число и произведение его цифр.

Переберём возможные комбинации множителей 1995:

1. Если \(10a + b = 19\), то \(a=1, b=9\). Произведение цифр \(1 \cdot 9 = 9\). Тогда \(19 \cdot 9 = 171\). Это не 1995.
2. Если \(10a + b = 21\) (невозможно, т.к. 21 не множитель 1995).
3. Если \(10a + b = 35\), то \(a=3, b=5\). Произведение цифр \(3 \cdot 5 = 15\). Тогда \(35 \cdot 15 = 525\). Это не 1995.
4. Если \(10a + b = 37\) (невозможно, т.к. 37 не множитель 1995).
5. Если \(10a + b = 39\) (невозможно, т.к. 39 не множитель 1995).
6. Если \(10a + b = 57\) (невозможно, т.к. 57 не множитель 1995).
7. Если \(10a + b = 65\) (невозможно, т.к. 65 не множитель 1995).
8. Если \(10a + b = 75\) (невозможно, т.к. 75 не множитель 1995).
9. Если \(10a + b = 95\), то \(a=9, b=5\). Произведение цифр \(9 \cdot 5 = 45\). Тогда \(95 \cdot 45 = 4275\). Это не 1995.
10. Рассмотрим другой вариант. Если \(a · b\) является множителем.

Рассмотрим множители 1995: \(3, 5, 7, 19, 21, 35, 57, 95, 105, 133, ...\)

Попробуем, чтобы \(a · b\) было одним из множителей:

Если \(a · b = 15\) (например, \(a=3, b=5\)), то \(10a + b = 35\). \(35 · 15 = 525\) (не подходит).

Если \(a · b = 21\) (например, \(a=3, b=7\) или \(a=7, b=3\)):

• Если \(a=3, b=7\), то число \(37\). \(37 · 21 = 777\) (не подходит).
• Если \(a=7, b=3\), то число \(73\). \(73 · 21 = 1533\) (не подходит).

Если \(a · b = 19\) (невозможно, т.к. 19 — простое число, и его множители 1 и 19, что не может быть произведением двух цифр).

Если \(a · b = 35\) (например, \(a=5, b=7\) или \(a=7, b=5\)):

• Если \(a=5, b=7\), то число \(57\). \(57 · 35 = 1995\). Это подходит!

• Если \(a=7, b=5\), то число \(75\). \(75 · 35 = 2625\) (не подходит).

Проверим найденное решение: Задуманное число — \(57\). Произведение его цифр \(5 · 7 = 35\). \(57 \cdot 35 = 1995\). Условие выполнено.

Ответ: 57.