180. Упростите выражение: а) sin(α − β)/(tg α − tg β); б) (ctg α + ctg β)/sin(α + β).

1. а) Преобразуем знаменатель по формуле тангенса разности:

   \(\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta=\frac{\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}{\cos\alpha\cos\beta}=\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\).

   Следовательно, \(\frac{\sin(\alpha-\beta)}{\operatorname{tg}\alpha-\operatorname{tg}\beta}=\cos\alpha\cos\beta\). Для исходного выражения дополнительно требуется \(\sin(\alpha-\beta)\ne0\), а также \(\cos\alpha\ne0\) и \(\cos\beta\ne0\).

2. б) Приведём сумму котангенсов к общему знаменателю:

   \(\operatorname{ctg}\alpha+\operatorname{ctg}\beta=\frac{\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta}{\sin\alpha\sin\beta}=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin\alpha\sin\beta}\).

   Деление на \(\sin(\alpha+\beta)\) даёт \(\frac{1}{\sin\alpha\sin\beta}\). В исходном выражении необходимо, чтобы \(\sin\alpha\ne0\), \(\sin\beta\ne0\) и \(\sin(\alpha+\beta)\ne0\).

Ответ: а) \(\cos\alpha\cos\beta\); б) \(\frac{1}{\sin\alpha\sin\beta}\).