1810. В прямоугольном треугольнике угол между высотой биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла, равен 34°. Найдите меньший угол данного треугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где угол C = 90°. Проведем высоту CD и биссектрису CE из вершины C. Высота CD делит прямой угол на два угла: ∠ACD и ∠BCD. Биссектриса CE делит прямой угол пополам, то есть ∠ACE = ∠BCE = 45°.

В прямоугольном треугольнике BCD, угол CDB = 90°. Угол CBD — это один из острых углов треугольника ABC. Угол BCD = 90° - ∠CBD.

Угол между высотой и биссектрисой равен ∠DCE = 34°.

Рассмотрим два случая:

1. Если биссектриса CE лежит между высотой CD и стороной CB:
• Угол ∠BCD = ∠BCE + ∠ECD = 45° + 34° = 79°.
• В прямоугольном треугольнике BCD: ∠CBD = 90° - ∠BCD = 90° - 79° = 11°.
• Тогда меньший угол треугольника ABC равен 11°.
2. Если высота CD лежит между биссектрисой CE и стороной CB:
• Угол ∠BCD = ∠BCE - ∠DCE = 45° - 34° = 11°.
• В прямоугольном треугольнике BCD: ∠CBD = 90° - ∠BCD = 90° - 11° = 79°.
• Тогда меньший угол треугольника ABC равен 11°.

В любом случае, один из острых углов треугольника равен 11°, а другой 79°.

Меньший угол треугольника равен 11°.

Ответ: 11