182. Являются ли равносильными уравнения: 1) 2x² + 3x = 2; 2) √(x² + 3x) = √(2 − x); 3) √(3 − 4x) = 2x?

Уравнение 1 имеет корни: \(2x^2+3x-2=0\), откуда \((2x-1)(x+2)=0\), поэтому \(x=\frac12\) или \(x=-2\).

В уравнении 2 обе части определены, когда \(x^2+3x\geq0\) и \(2-x\geq0\). При этих условиях равенство корней равносильно \(x^2+3x=2-x\), то есть \((x+2)(x-1)=0\). Корень \(x=1\) не удовлетворяет условию \(x^2+3x\geq0\)? Оно выполняется; корень \(x=-2\) также допустим. Значит, корни уравнения 2: \(-2\) и \(1\). Уравнения 1 и 2 неравносильны.

В уравнении 3 правая часть должна быть неотрицательной, поэтому \(x\geq0\). Возводим в квадрат: \(3-4x=4x^2\), откуда \(4x^2+4x-3=0\). Корни квадратного уравнения: \(x=\frac12\) и \(x=-\frac32\); условию \(x\geq0\) удовлетворяет только \(\frac12\).

На изображении неразборчиво, с каким уравнением сравнивается пункт 3 (и есть ли продолжение задания). Поэтому установить равносильность для него нельзя; пришлите, пожалуйста, полный фрагмент задания 182.

Ответ: уравнения 1 и 2 неравносильны; их множества корней — \(\{-2,\frac12\}\) и \(\{-2,1\}\). Уравнение 3 имеет корень \(\frac12\).