188. Из прямоугольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность события: а) «точка принадлежит ромбу, вершинами которого служат середины сторон прямоугольника»; б) «точка принадлежит треугольнику, вершинами которого служат две соседние вершины прямоугольника и точка пересечения его диагоналей».

Точка выбирается равновероятно из прямоугольника, поэтому вероятность попадания в фигуру равна отношению площади этой фигуры к площади прямоугольника.

а) Пусть стороны прямоугольника равны \(a\) и \(b\). Ромб, образованный серединами сторон, имеет диагонали \(a\) и \(b\). Поэтому его площадь:

\[S_\text{ромба}=\frac{ab}{2}.\]

Площадь прямоугольника равна \(S_\text{прямоугольника}=ab\). Следовательно,

\[P=\frac{S_\text{ромба}}{S_\text{прямоугольника}}=\frac{ab/2}{ab}=\frac12.\]

б) Рассмотрим две соседние вершины прямоугольника. Если длина стороны между ними равна \(a\), то расстояние от точки пересечения диагоналей до этой стороны равно \(\frac b2\). Площадь треугольника:

\[S_\text{треугольника}=\frac12\cdot a\cdot\frac b2=\frac{ab}{4}.\]

Тогда

\[P=\frac{S_\text{треугольника}}{S_\text{прямоугольника}}=\frac{ab/4}{ab}=\frac14.\]

Ответ: а) \(\frac12\); б) \(\frac14\).