189. Постройте график функции y=6/x и, используя его, решите уравнение: а) 6/x=x; б) 6/x=−x+6.

Для построения графика \(y=\frac{6}{x}\), \(x\ne0\), возьмём точки: (1; 6), (2; 3), (3; 2), (6; 1), (−1; −6), (−2; −3), (−3; −2), (−6; −1). Гипербола имеет асимптоты \(x=0\) и \(y=0\).

а) Точки пересечения графиков \(y=\frac{6}{x}\) и \(y=x\) удовлетворяют уравнению:

\[\frac{6}{x}=x\]

Так как \(x\ne0\), умножим обе части на \(x\):

\[6=x^2\]

\[x=\pm\sqrt6\]

Ответ: \(x=\sqrt6\) и \(x=-\sqrt6\).

б) Точки пересечения графиков \(y=\frac{6}{x}\) и \(y=-x+6\) удовлетворяют уравнению:

\[\frac{6}{x}=-x+6\]

Умножим обе части на \(x\):

\[6=-x^2+6x\]

\[x^2-6x+6=0\]

По формуле корней:

\[x=\frac{6\pm\sqrt{36-24}}{2}=\frac{6\pm2\sqrt3}{2}=3\pm\sqrt3\]

Ответ: \(x=3-\sqrt3\) и \(x=3+\sqrt3\).