19.2. Упростите выражение: а) sin(α + β) − sin α cos β; б) sin(π/3 + α) − 1/2 sin α; в) sin α sin β + cos(α + β); г) cos(α + π/4) + (√2/2) sin α.

Применим формулы суммы углов.

1. а) \(\sin(\alpha+\beta)-\sin\alpha\cos\beta=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta-\sin\alpha\cos\beta=\cos\alpha\sin\beta\).
2. б) \(\sin\left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha-\frac12\sin\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\).
3. в) \(\sin\alpha\sin\beta+\cos(\alpha+\beta)=\sin\alpha\sin\beta+\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta=\cos\alpha\cos\beta\).
4. г) \(\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha+\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha=\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\).

Ответ: а) \(\cos\alpha\sin\beta\); б) \(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha\); в) \(\cos\alpha\cos\beta\); г) \(\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\).