19.3. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)$; в) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)$; г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 19.3. Упростите выражение: а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Применим формулы синуса и косинуса разности.

а) $\sin\left(\frac{5\pi}{6}-\alpha\right)-\frac12\cos\alpha=\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha=\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$.
б) $\sqrt3\cos\alpha-2\cos\left(\alpha-\frac{\pi}{6}\right)=\sqrt3\cos\alpha-2\left(\frac{\sqrt3}{2}\cos\alpha+\frac12\sin\alpha\right)=-\sin\alpha$.
в) Так как $\frac{5\pi}{3}=2\pi-\frac{\pi}{3}$, то $\cos\left(\alpha-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$. Поэтому выражение равно $\frac12\cos\alpha$.
г) $\sqrt2\sin\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)-\sin\alpha=\sqrt2\left(\frac{\sqrt2}{2}\sin\alpha-\frac{\sqrt2}{2}\cos\alpha\right)-\sin\alpha=-\cos\alpha$.

Ответ: а) $\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha$; б) $-\sin\alpha$; в) $\frac12\cos\alpha$; г) $-\cos\alpha$.