19.6. Решите уравнения: 1) sin 2x = 1,2; 2) cos 3x = √2; 3) sin (x/3) = −1/2; 4) tg 5x = −√3/3; 5) cos 4x = 0; 6) ctg (−3x) = −1.

Решения записаны в радианах, где \(k\in\mathbb{Z}\).

1. Так как для любого действительного аргумента \(-1\leq\sin 2x\leq 1\), равенство \(\sin 2x=1.2\) невозможно. Действительных решений нет.
2. Так как \(-1\leq\cos 3x\leq 1\), равенство \(\cos 3x=\sqrt{2}\) невозможно. Действительных решений нет.
3. Пусть \(t=\frac{x}{3}\). Тогда \(\sin t=-\frac{1}{2}\), откуда \(t=-\frac{\pi}{6}+2\pi k\) или \(t=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\). Умножаем на 3: \(x=-\frac{\pi}{2}+6\pi k\) или \(x=\frac{7\pi}{2}+6\pi k\).
4. \(\operatorname{tg}5x=-\frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому \(5x=-\frac{\pi}{6}+\pi k\). Делим на 5: \(x=-\frac{\pi}{30}+\frac{\pi k}{5}\).
5. \(\cos 4x=0\), поэтому \(4x=\frac{\pi}{2}+\pi k\). Делим на 4: \(x=\frac{\pi}{8}+\frac{\pi k}{4}\).
6. \(\operatorname{ctg}(-3x)=-1\), поэтому \(-3x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\). Делим на \(-3\): \(x=-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi k}{3}\). Переобозначив целое число, получаем \(x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{3}\).