19. а) Диагональ AC, равная 6 см, разделяет трапецию ABCD с боковыми сторонами AB = 4 см и CD = 6 см на два подобных треугольника. Найдите периметр трапеции. б) Диагональ AC разделяет трапецию ABCD с основаниями AD = 12 и BC = 3 на два подобных треугольника. Найдите AC.

а) Диагональ AC делит трапецию на подобные треугольники ABC и ACD.

Так как сторона AB соответствует CD, коэффициент подобия равен \(\frac{AB}{CD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\).

Сторона AC первого треугольника соответствует основанию AD второго:

\[\frac{AC}{AD}=\frac{2}{3},\qquad \frac{6}{AD}=\frac{2}{3},\qquad AD=9\text{ см}.\]

Сторона BC соответствует AC:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{2}{3},\qquad BC=6\cdot\frac{2}{3}=4\text{ см}.\]

Периметр трапеции:

\[P=AB+BC+CD+AD=4+4+6+9=23\text{ см}.\]

Ответ: а) 23 см.

б) Для подобных треугольников выполняется соотношение:

\[\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AD}.\]

Следовательно,

\[AC^2=BC\cdot AD=3\cdot12=36,\qquad AC=6.\]

Ответ: б) 6.