19) Через О точку пересечения диагоналей параллелограмма CDZN проведена прямая, пересекающая стороны CD и ZN в точках K и B соответственно. Докажите, что отрезки DK и NB равны.

Дано:

• CDZN — параллелограмм.
• O — точка пересечения диагоналей (AC и DZ).
• KB — прямая, проходящая через O, пересекающая CD в точке K и ZN в точке B.

Доказать:

• DK = NB

Решение:

Мы будем использовать свойства параллелограмма и равенство треугольников.

1. Свойства параллелограмма:
   • Диагонали параллелограмма пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Это значит, что DO = OZ и CO = ON.
   • Противоположные стороны параллелограмма равны и параллельны. То есть CD || ZN и CD = ZN.
2. Равенство треугольников: Рассмотрим треугольники ΔDOK и ΔBON.
   • DO = ON (по свойству диагоналей параллелограмма).
   • ∠DOK = ∠BON (как вертикальные углы).
   • ∠ODK = ∠OBN (как накрест лежащие углы при параллельных прямых CD и ZN и секущей DZ).
3. Признак равенства треугольников: По двум углам и прилежащей к ним стороне (второй признак равенства треугольников), ΔDOK = ΔBON.
4. Следствие из равенства треугольников: Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, DK = BN.

Что и требовалось доказать.