№ 19. Дано: ABCD — параллелограмм; AB ∩ α = M; BC ∩ α = N. Доказать: AD ∩ α ≠ ∅; DC ∩ α ≠ ∅. На фото приведено доказательство с построением MN = α ∩ (ABCD), точек P = MN ∩ AD и Q = MN ∩ CD.

В доказательстве есть недоказанное предположение: прямая MN не обязательно пересекает AD и CD. Она может быть параллельна одной из этих сторон, поэтому утверждение в записанном виде из данных не следует.

Например, возьмём параллелограмм с вершинами A(0,0), B(1,0), C(1,1), D(0,1) в плоскости z = 0. Пусть α — плоскость через точки M(0.5,0,0) и N(1,0.5,0), параллельная оси z. Тогда AB ∩ α = M и BC ∩ α = N, но α ∩ AD = ∅: плоскости α и z = 0 пересекаются по MN, которая параллельна AD. Следовательно, требование доказать оба пересечения без дополнительных условий неверно.

Кроме того, запись P = MN ∩ AD и Q = MN ∩ CD сама по себе не доказывает, что такие точки существуют. Нужна дополнительная информация, например что MN не параллельна соответствующим сторонам. По видимой части тетрадной записи установить, не было ли таких условий в исходном задании, нельзя.

Итог: приведённое доказательство неполно, а утверждение при указанных данных может быть ложным.