19. Диагонали AC и BD трапеции ABCD с основаниями BC и AD пересекаются в точке O. BC = 3, AD = 7, AC = 20. Найдите AO.

В треугольниках BOC и AOD углы при O равны как вертикальные, а углы при основаниях равны как накрест лежащие при параллельных BC и AD. Поэтому треугольники подобны.

Из подобия следует \(\frac{AO}{OC}=\frac{AD}{BC}=\frac{7}{3}\). Пусть \(AO=7x\), тогда \(OC=3x\). Поскольку \(AC=AO+OC=20\), имеем \(10x=20\), значит, \(x=2\) и \(AO=14\).

Ответ: 14.