19. Доведіть тотожність: \(\frac{a+3}{a+1} - \frac{a+1}{a-1} + \frac{6}{a^2-1} = \frac{2}{a^2-1}\)

Рішення:

Щоб довести тотожність, зведемо ліву частину до спільного знаменника.

1. Розкладемо знаменник третього і четвертого дробів: \( a^2 - 1 = (a-1)(a+1) \).
2. Спільний знаменник для всіх дробів: \( (a-1)(a+1) \).
3. Зведемо дроби до спільного знаменника:
   • \(\frac{a+3}{a+1} = \frac{(a+3)(a-1)}{(a+1)(a-1)} = \frac{a^2 - a + 3a - 3}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 2a - 3}{(a-1)(a+1)}\)
   • \(\frac{a+1}{a-1} = \frac{(a+1)(a+1)}{(a-1)(a+1)} = \frac{a^2 + 2a + 1}{(a-1)(a+1)}\)
   • \(\frac{6}{a^2-1} = \frac{6}{(a-1)(a+1)}\)
4. Підставимо зведені дроби в ліву частину виразу:
   • \(\frac{a^2 + 2a - 3}{(a-1)(a+1)} - \frac{a^2 + 2a + 1}{(a-1)(a+1)} + \frac{6}{(a-1)(a+1)} \)
   • \( = \frac{(a^2 + 2a - 3) - (a^2 + 2a + 1) + 6}{(a-1)(a+1)} \)
   • \( = \frac{a^2 + 2a - 3 - a^2 - 2a - 1 + 6}{(a-1)(a+1)} \)
   • \( = \frac{(a^2 - a^2) + (2a - 2a) + (-3 - 1 + 6)}{(a-1)(a+1)} \)
   • \( = \frac{0 + 0 + 2}{(a-1)(a+1)} \)
   • \( = \frac{2}{a^2 - 1} \)

Ліва частина тотожності дорівнює правій частині. Тотожність доведена.

Відповідь: Тотожність доведена.