19. Какие из следующих утверждений верны? 1) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. 2) Около любого правильного многоугольника можно описать только одну окружность. 3) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 6, 8, 10, находится на стороне этого треугольника. В ответе запиши номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение:

1. Утверждение 1: Центр вписанной окружности (инцентр) — это точка пересечения биссектрис треугольника. Центр описанной окружности (центр тяжести) — это точка пересечения серединных перпендикуляров. Следовательно, утверждение неверно.
2. Утверждение 2: Около любого правильного многоугольника можно описать ровно одну окружность. Это верно, так как центр описанной окружности существует и единствен для любого правильного многоугольника. Следовательно, утверждение верно.
3. Утверждение 3: Треугольник со сторонами 6, 8, 10 является прямоугольным, так как выполняется теорема Пифагора: \( 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2 \). Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине гипотенузы (наибольшей стороны), которая в данном случае равна 10. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: 23