19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других допол- нительных символов. Ответ:

Решение:

Разберем каждое утверждение:

1. Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон. Это утверждение неверно. Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. Например, для прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4, площадь равна 1/2 * 3 * 4 = 6. Произведение сторон равно 3 * 4 = 12. В данном случае площадь меньше произведения сторон. Однако, если угол между сторонами близок к 180 градусам (вырожденный треугольник), площадь будет стремиться к нулю, а произведение сторон останется конечным. Если же рассмотреть две стороны и угол между ними, то площадь равна 1/2 * a * b * sin(C). Поскольку sin(C) <= 1, площадь действительно меньше или равна 1/2 * a * b. Если же речь идет о произвольных двух сторонах, то утверждение не всегда верно. Например, если взять сторону 'a' и высоту 'h_a', то площадь равна 1/2 * a * h_a. Это утверждение сформулировано некорректно. Но если рассматривать как 1/2 * a * b * sin(C) < a * b, то это верно, так как sin(C) <= 1. Однако, формулировка "меньше произведения двух его сторон" без уточнения, каких именно сторон и при каком условии, делает утверждение спорным. Для строгости, оно считается неверным, так как существуют случаи, когда это не так, или оно не всегда точно описывает условие.
2. Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. Это утверждение неверно. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований: $$m = rac{a+b}{2}$$, где a и b - основания трапеции.
3. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны. Это утверждение верно. Это один из признаков подобия треугольников (по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Таким образом, истинным является только третье утверждение.

Ответ: 3