19. Какие из следующих утверждений являются истинными высказываниями? 1) Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам. 2) Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности. 3) Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.

Решение:

Проанализируем каждое утверждение:

1. Утверждение 1: Сумма углов любого треугольника равна 360 градусам.
   • Это утверждение ложное. Сумма углов любого треугольника в евклидовой геометрии всегда равна 180 градусам.
2. Утверждение 2: Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в точке, являющейся центром описанной около треугольника окружности.
   • Это утверждение истинное. Центр описанной окружности равноудален от всех вершин треугольника. Серединный перпендикуляр к стороне содержит все точки, равноудаленные от концов этой стороны (то есть от двух вершин). Следовательно, точка пересечения серединных перпендикуляров равноудалена от всех трех вершин, что и является определением центра описанной окружности.
3. Утверждение 3: Треугольника со сторонами 1, 2, 4 не существует.
   • Это утверждение истинное. Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.
   • Проверим:
   • 1 + 2 = 3. 3 < 4. Неравенство не выполняется.
   • Следовательно, треугольник со сторонами 1, 2, 4 не может существовать.

Финальный ответ:

Ответ: 23