19. Каждая диагональ трапеции равна сумме её оснований. Найдите угол между её диагоналями.

Обозначим основания трапеции через a и b, а высоту — через h. Пусть нижнее основание расположено от точки A до точки B, где A — начало координат, а верхнее основание — от D до C.

Поскольку длины диагоналей равны a+b, из равенства их квадратов следует, что горизонтальные проекции диагоналей равны по модулю. Из расположения вершин получаем, что каждая такая проекция по модулю равна \(\frac{a+b}{2}\). Поэтому

\[h^2=(a+b)^2-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\frac{3(a+b)^2}{4}.\]

Векторы диагоналей можно записать как \(\left(\frac{a+b}{2},h\right)\) и \(\left(-\frac{a+b}{2},h\right)\). Их скалярное произведение равно \(h^2-\frac{(a+b)^2}{4}=\frac{(a+b)^2}{2}\), а длина каждой диагонали равна \(a+b\). Следовательно, косинус угла между диагоналями равен \(\frac12\).

Ответ: 60°.