19. На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 24 и AD = 31, отмечена точка E так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Пусть A = (0, 0), B = (0, 24), D = (31, 0), C = (31, 24). Так как E лежит на BC, её координаты имеют вид E = (x, 24).

Угол между AE и AB равен 45°. В прямоугольном треугольнике ABE катеты равны, поэтому BE = AB = 24. Следовательно, x = 24 и E = (24, 24).

Тогда горизонтальное расстояние от E до D равно 31 − 24 = 7, а вертикальное — 24. По теореме Пифагора:

\(ED=\sqrt{7^2+24^2}=\sqrt{49+576}=25\).

Ответ: 25.