19. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x² − 2x)a² + (x⁴ − 2x³ − 8x + 16)a − 8x³ + 16x² = 0 имеет ровно два различных корня.

Сгруппируем слагаемые по общему множителю:

\(x^2-2x=x(x-2)\),

\(x^4-2x^3-8x+16=x^3(x-2)-8(x-2)=(x-2)(x^3-8)\),

\(-8x^3+16x^2=-8x^2(x-2)\).

Так как \(x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\), уравнение принимает вид

\((x-2)\bigl[a^2x+a(x-2)(x^2+2x+4)-8x^2\bigr]=0\).

Для любого a корень \(x=2\) имеется. Квадратная скобка равна

\(a^2x+a(x^3-8)-8x^2=(x-2)(ax+4)(x-a-2)\),

поскольку произведение после раскрытия скобок даёт \(ax^3-8x^2+a^2x-8a\). Поэтому исходное уравнение эквивалентно

\((x-2)^2(ax+4)(x-a-2)=0\).

Корни: \(x=2\), а также, если соответствующие множители не являются ненулевыми константами, \(x=-4/a\) при \(a\ne0\) и \(x=a+2\).

Нужно получить ровно два различных корня. При \(a=0\) остаются корни 2 и 2, то есть только один различный корень. При \(a\ne0\) исключаем случаи, когда оба дополнительных корня совпадают с 2 или друг с другом.

Оба дополнительных корня совпадают с 2, когда \(-4/a=2\) и \(a+2=2\); условия несовместимы. Корень \(-4/a\) равен 2 при \(a=-2\); тогда второй дополнительный корень равен 0, получаем ровно два корня. Корень \(a+2\) равен 2 при \(a=0\), уже исключённом.

Дополнительные корни совпадают, если \(-4/a=a+2\), то есть \(a^2+2a+4=0\). Дискриминант этого уравнения равен \(4-16=-12<0\), действительных значений a нет. Значит, при всяком действительном \(a\ne0\) корни дают два или три различных значения; три возникают только если оба дополнительных корня различны между собой и отличны от 2. Здесь \(a=-2\) даёт ровно два корня, а для остальных ненулевых a — три, кроме невозможного совпадения дополнительных корней.

Ответ: \(a=-2\).