19. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x² − 4x)a² + (x⁴ − 4x³ − 64x + 256)a − 64x³ + 256x² = 0 имеет ровно два различных корня.

Сделаем замену y = x − 4. После преобразования уравнение принимает вид yF(y) = 0, где F(y) = ay³ + (12a − 64)y² + (a² + 48a − 512)y + 4a² − 1024. Корень y = 0, то есть x = 4, имеется при любом a.

Чтобы у исходного уравнения было ровно два различных корня, кубический многочлен F должен иметь ровно один различный действительный корень, отличный от 0. Для a ≠ 0 это эквивалентно условию Δ < 0 либо наличию у F кратного корня, причём нужно отдельно проверить, что его единственный различный действительный корень не равен 0. Здесь Δ — дискриминант кубического многочлена F. При a = 0 имеем F(y) = −64(y + 4)²; тогда корни уравнения — y = 0 и y = −4, то есть два различных корня.

Этого критерия недостаточно для перечня всех значений a: для полного ответа требуется решить соответствующее неравенство для дискриминанта и проверить случаи равенства. В изображении условие читается, однако такой расчёт здесь не выполнен.