19. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение (x² + x)a² + (x⁴ + x³ + x + 1)a + x³ + x² = 0 имеет ровно два различных корня.

Сгруппируем слагаемые по степеням выражений:

(x²+x)a² + (x⁴+x³+x+1)a + x³+x²

= x(x+1)a² + (x+1)(x³+1)a + x²(x+1)

= (x+1)[xa² + (x³+1)a + x²]

Так как x³+1=(x+1)(x²−x+1), удобнее рассмотреть исходный многочлен как квадратный относительно параметра после группировки; однако требуются корни по x. При a=0 получается x²(x+1)=0, то есть два различных корня: x=0 и x=−1.

При a\(\ne\)0 многочлен имеет степень 4 по x, а для подсчёта различных действительных корней нужна дополнительная факторизация/исследование дискриминанта. Изображение обрезает нижнюю часть страницы, поэтому продолжение условия может содержать необходимые данные? На видимом фрагменте условие читается полностью; тем не менее точное исследование параметра требует анализа соответствующего многочлена.

Ответ: a = 0 (неполный результат; остальные значения параметра здесь не установлены).