19. Найдите значение выражения 1/(5·6) + 1/(6·7) + 1/(7·8) + 1/(8·9) + 1/(9·10) + 1/(10·11) + 1/(11·12), не приводя дроби к общему знаменателю.

Используем тождество \(\frac{1}{n(n+1)}=\frac1n-\frac1{n+1}\).

Тогда

\(\frac1{5\cdot6}+\frac1{6\cdot7}+\cdots+\frac1{11\cdot12}=\left(\frac15-\frac16\right)+\left(\frac16-\frac17\right)+\cdots+\left(\frac1{11}-\frac1{12}\right)\).

Промежуточные слагаемые сокращаются:

\(\frac15-\frac1{12}=\frac{12-5}{60}=\frac7{60}\).

Ответ: \(\frac7{60}\).