19. ∠NOK = 80°, ∠MOF = 70°; OF — биссектриса ∠NOE; OK — биссектриса ∠MOE; ∠MON — ?

Пусть \(\angle MOE = x\). Так как \(OK\) — биссектриса угла \(MOE\), то \(\angle MOK = \angle KOE = \frac{x}{2}\).

Так как \(OF\) — биссектриса угла \(NOE\), то \(\angle NOF = \angle FOE = \frac{\angle NOE}{2}\).

Из рисунка лучи расположены в порядке \(ON, OF, OE, OK, OM\). Поэтому:

\(\angle NOE = \angle NOK + \angle KOE = 80^\circ + \frac{x}{2}\).

Также \(\angle MOF = \angle MOK + \angle KOE + \angle EOF = 70^\circ\). С учётом биссектрисы \(\angle EOF = \frac{\angle NOE}{2}\), получаем:

\(70^\circ = \frac{x}{2}+\frac{x}{2}+\frac{80^\circ+\frac{x}{2}}{2}\).

\(70 = x + 40 + \frac{x}{4}\), откуда \(\frac{5x}{4}=30\), \(x=24^\circ\).

Тогда \(\angle MON = \angle MOF + \angle FON = 70^\circ + \frac{\angle NOE}{2}\), где \(\angle NOE=80^\circ+12^\circ=92^\circ\).

\(\angle MON=70^\circ+46^\circ=116^\circ\).

Ответ: \(116^\circ\).