19. Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС проходит через вершину С и касается прямой АВ в точке В. Найдите диаметр окружности, если АВ=8, AC=10.

Задание 19. Геометрия

Дано:

• Окружность с центром на стороне АС треугольника АВС.
• Окружность проходит через вершину С.
• Окружность касается прямой АВ в точке В.
• АВ = 8.
• АС = 10.

Найти: диаметр окружности.

Решение:

1. Так как окружность касается прямой АВ в точке В, то радиус окружности, проведённый в точку касания В, перпендикулярен прямой АВ. Обозначим центр окружности буквой О. Тогда ОВ ⊥ АВ.

2. Центр окружности О лежит на стороне АС. Радиус окружности равен расстоянию от центра О до любой точки на окружности. Так как окружность проходит через С, то ОС — это радиус. Так как окружность касается АВ в точке В, то ОВ — это тоже радиус. Следовательно, ОВ = ОС.

3. Так как ОВ ⊥ АВ, а АВ является одной из сторон треугольника АВС, то угол АВО равен 90 градусов. Это значит, что треугольник АВО — прямоугольный.

4. В прямоугольном треугольнике АВО катет ОВ лежит напротив угла ВАО (угла А треугольника АВС). Катет ОВ равен радиусу окружности, который мы ищем.

5. Вспомним, что ОВ = ОС. Точка О лежит на отрезке АС. Пусть длина радиуса равна r. Тогда ОВ = r и ОС = r. Поскольку О лежит на АС, то АО = АС - ОС = 10 - r.

6. Теперь применим теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику АВО: \( AO^2 = AB^2 + OB^2 \)

7. Подставим известные значения: \( (10 - r)^2 = 8^2 + r^2 \)

8. Раскроем скобки и решим уравнение:

\( 100 - 20r + r^2 = 64 + r^2 \)

\( 100 - 20r = 64 \)

\( 100 - 64 = 20r \)

\( 36 = 20r \)

\( r = \frac{36}{20} = \frac{9}{5} = 1.8 \) см.

9. Диаметр окружности равен двум радиусам: \( d = 2r = 2 \cdot 1.8 = 3.6 \) см.

Ответ: диаметр окружности 3.6 см.