19. При каких значениях параметра a решения системы уравнений { x + ay = 3, ax + 4y = 6 } находятся вне окружности x² + y² = 1?

Определитель системы равен 4 − a².

Если a = 2, уравнения задают одну и ту же прямую x + 2y = 3. На этой прямой есть точки как внутри, так и вне единичной окружности, поэтому не все решения находятся вне окружности. Если a = −2, система несовместна.

При a ≠ ±2 решение единственно:

x = (12 − 6a)/(4 − a²),   y = (6 − 3a²)/(4 − a²).

Точка находится вне окружности тогда и только тогда, когда x² + y² > 1. Подставляя выражения для координат и учитывая, что (4 − a²)² > 0, получаем условие

36(2 − a)² + 9(2 − a²)² > (4 − a²)².

Ответ: все a ≠ ±2, для которых 36(2 − a)² + 9(2 − a²)² > (4 − a²)².