19. Решите уравнение \(\sin\frac{\pi(8x+3)}{6}=0{,}5\). В ответе напишите наименьший положительный корень.

Пусть \(t=\frac{\pi(8x+3)}{6}\). Тогда \(\sin t=\frac12\), поэтому

\[t=\frac{\pi}{6}+2\pi k\quad\text{или}\quad t=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb Z.\]

В первом случае:

\[\frac{\pi(8x+3)}{6}=\frac{\pi}{6}+2\pi k\;\Longrightarrow\;8x+3=1+12k\;\Longrightarrow\;x=-\frac14+\frac32k.\]

Во втором случае:

\[\frac{\pi(8x+3)}{6}=\frac{5\pi}{6}+2\pi k\;\Longrightarrow\;8x+3=5+12k\;\Longrightarrow\;x=\frac14+\frac32k.\]

Наименьший положительный корень второго семейства при \(k=0\) равен \(\frac14\). В первом семействе наименьший положительный корень при \(k=1\) равен \(\frac54\).

Ответ: \(\frac14\).