19. Середина боковой стороны трапеции равноудалена от двух противоположных от неё вершин. Докажите, что трапеция прямоугольная.

Обозначим трапецию ABCD так, что AB и CD — основания, а M — середина боковой стороны BC. По условию MA = MD.

1. Так как M равноудалена от точек A и D, она лежит на серединном перпендикуляре к AD. Поэтому проекция точки M на прямую AD делит AD пополам.
2. Введём координаты: пусть A=(0,0), B=(b,0), а из параллельности оснований D=(d,h), C=(c,h). Поскольку M — середина BC, M=((b+c)/2,h/2).
3. Из MA=MD следует равенство квадратов расстояний: ((b+c)/2)²+(h/2)² = ((b+c)/2−d)²+(h/2−h)². После упрощения получаем d(b+c−d)=0.
4. При невырожденной трапеции с параллельными основаниями выражение b+c−d не равно нулю: иначе M совпала бы с серединой AD, что вместе с MA=MD и M на стороне BC привело бы к вырожденной фигуре. Значит, d=0.

Следовательно, AD вертикальна, а основания AB и CD горизонтальны. Значит, боковая сторона AD перпендикулярна основаниям, и трапеция прямоугольная.