19. Тип 17 № 12244 Задумали трёхзначное число, которое делится на 35. Затем поменяли местами цифры в разрядах десятков и единиц и полученное число вычли из задуманного. Получили число 63. Какое число было задумано?

Дано:

• Трёхзначное число $$abc$$, делится на 35.
• Число $$acb$$.
• $$abc - acb = 63$$.

Найти: Число $$abc$$.

Решение:

1. Обозначим задуманное число как $$abc$$. Это число можно записать в виде:

\[ abc = 100a + 10b + c \]

2. Число, полученное после перестановки цифр десятков и единиц, равно:

\[ acb = 100a + 10c + b \]

3. Разность между этими числами равна 63:

\[ (100a + 10b + c) - (100a + 10c + b) = 63 \]

4. Упростим выражение:

\[ 100a + 10b + c - 100a - 10c - b = 63 \]

\[ 9b - 9c = 63 \]

5. Вынесем общий множитель 9:

\[ 9(b - c) = 63 \]

6. Разделим обе части на 9:

\[ b - c = 7 \]

7. Теперь нам нужно найти такие цифры $$b$$ и $$c$$, разность которых равна 7. Возможные пары $$(b, c)$$:
• $$(7, 0)$$
• $$(8, 1)$$
• $$(9, 2)$$
8. Условие задачи гласит, что задуманное число $$abc$$ делится на 35. Число, делящееся на 35, должно делиться как на 5, так и на 7.
• Делимость на 5 означает, что последняя цифра ($$c$$) должна быть либо 0, либо 5.
9. Из возможных пар $$(b, c)$$, удовлетворяющих условию $$b - c = 7$$, только пара $$(7, 0)$$ имеет $$c = 0$$.
• Следовательно, $$b = 7$$ и $$c = 0$$.
10. Таким образом, задуманное число имеет вид $$a70$$.
11. Теперь нужно учесть делимость на 7. Число $$a70$$ делится на 7.
• Подставим $$b=7$$ и $$c=0$$ в исходное уравнение $$abc - acb = 63$$: $$a70 - a07 = 63$$.
12. Число $$a70$$ делится на 35, значит, оно должно заканчиваться на 0 или 5 (что мы уже учли, $$c=0$$).
13. Также число $$a70$$ должно делиться на 7.
• Проверим числа вида $$a70$$, которые делятся на 7:
• $$170$$ не делится на 7.
• $$270$$ не делится на 7.
...
• $$770 = 7 imes 110$$. Это число делится на 7.
14. Также число $$a70$$ должно делиться на 5 (что выполняется, т.к. $$c=0$$).
15. Проверим, делится ли $$770$$ на 35:

\[ 770 \div 35 = 22 \]

16. Число 770 удовлетворяет всем условиям: оно трёхзначное, делится на 35, и при перестановке десятков и единиц ($$707$$) разность равна $$770 - 707 = 63$$.

Ответ: 770