19 Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 3627. Приведите ровно один пример такого числа.

Решение:

Пусть четырёхзначное число будет \( \overline{abcd} \). По условию, оно кратно 5, значит, последняя цифра \( d = 0 \) или \( d = 5 \).

Число, полученное в обратном порядке, будет \( \overline{dcba} \).

Разница между первым и вторым числом равна 3627:

\( \overline{abcd} - \overline{dcba} = 3627 \).

Распишем по разрядам:

\( (1000a + 100b + 10c + d) - (1000d + 100c + 10b + a) = 3627 \)

\( 999a + 90b - 90c - 999d = 3627 \)

Если \( d = 0 \), то \( 999a + 90b - 90c = 3627 \).

Если \( d = 5 \), то \( 999a + 90b - 90c - 999 \times 5 = 3627 \) \( \Rightarrow 999a + 90b - 90c = 3627 + 4995 = 8622 \).

Рассмотрим случай \( d=0 \).

\( 999a + 90(b - c) = 3627 \).

Заметим, что \( 999a \) должно быть меньше \( 3627 \), значит \( a \leq 3 \).

Если \( a = 3 \), то \( 999 \times 3 = 2997 \).

\( 2997 + 90(b - c) = 3627 \)

\( 90(b - c) = 3627 - 2997 = 630 \)

\( b - c = \frac{630}{90} = 7 \).

Теперь нужно подобрать \( b \) и \( c \) так, чтобы \( b - c = 7 \) и \( b, c \) были цифрами от 0 до 9.

Возможные пары: \( b = 7, c = 0 \); \( b = 8, c = 1 \); \( b = 9, c = 2 \).

Возьмем \( a = 3, b = 7, c = 0, d = 0 \). Число \( 3700 \).

Проверим: \( 3700 - 0073 = 3700 - 73 = 3627 \). Условие выполняется.

Возьмем \( a = 3, b = 8, c = 1, d = 0 \). Число \( 3810 \).

Проверим: \( 3810 - 0183 = 3810 - 183 = 3627 \). Условие выполняется.

Возьмем \( a = 3, b = 9, c = 2, d = 0 \). Число \( 3920 \).

Проверим: \( 3920 - 0293 = 3920 - 293 = 3627 \). Условие выполняется.

Рассмотрим случай \( d=5 \).

\( 999a + 90(b - c) = 8622 \).

\( 999a \) должно быть меньше \( 8622 \), значит \( a ≤ 8 \).

Если \( a = 8 \), то \( 999 \times 8 = 7992 \).

\( 7992 + 90(b - c) = 8622 \)

\( 90(b - c) = 8622 - 7992 = 630 \)

\( b - c = \frac{630}{90} = 7 \).

Нужно подобрать \( b \) и \( c \) так, чтобы \( b - c = 7 \) и \( b, c \) были цифрами от 0 до 9.

Возможные пары: \( b = 7, c = 0 \); \( b = 8, c = 1 \); \( b = 9, c = 2 \).

Возьмем \( a = 8, b = 7, c = 0, d = 5 \). Число \( 8705 \).

Проверим: \( 8705 - 5078 = 3627 \). Условие выполняется.

Возьмем \( a = 8, b = 8, c = 1, d = 5 \). Число \( 8815 \).

Проверим: \( 8815 - 5188 = 3627 \). Условие выполняется.

Возьмем \( a = 8, b = 9, c = 2, d = 5 \). Число \( 8925 \).

Проверим: \( 8925 - 5298 = 3627 \). Условие выполняется.

Любой из приведенных примеров подходит.

Ответ: 3700