19. В основании правильной пирамиды лежит треуголь- ник со стороной 2 см, а боковая грань образует с плоскостью основания угол 30°. Найти площадь пол- ной поверхности пирамиды.

Дано:

• Правильная пирамида
• Основание — равносторонний треугольник со стороной a = 2 см
• Угол между боковой гранью и плоскостью основания = 30°

Найти: Площадь полной поверхности пирамиды (S_полн)

Решение:

1. Площадь основания (S_осн):
• Для равностороннего треугольника: $$S_{осн} = rac{a^2oldsymbol{ ext{√3}}}{4}$$
• $$S_{осн} = rac{2^2oldsymbol{ ext{√3}}}{4} = rac{4oldsymbol{ ext{√3}}}{4} = oldsymbol{ ext{√3}}$$ см²
2. Апофема (h_а):
• Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 30°. Этот угол образован апофемой грани и апофемой основания (высотой в равностороннем треугольнике).
• Апофема основания (высота равностороннего треугольника): $$h_{осн} = rac{aoldsymbol{ ext{√3}}}{2} = rac{2oldsymbol{ ext{√3}}}{2} = oldsymbol{ ext{√3}}$$ см
• Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, апофемой основания и апофемой боковой грани. Угол между апофемой основания и апофемой грани равен 30°.
• tg(30°) = Высота пирамиды / Апофема основания
• $$H = h_{осн} imes ext{tg}(30°) = oldsymbol{ ext{√3}} imes rac{1}{oldsymbol{ ext{√3}}} = 1$$ см
• Теперь найдем апофему боковой грани (h_а) используя Пифагора:
• $$h_a^2 = H^2 + h_{осн}^2 = 1^2 + (oldsymbol{ ext{√3}})^2 = 1 + 3 = 4$$
• $$h_a = oldsymbol{ ext{√4}} = 2$$ см
3. Площадь боковой поверхности (S_бок):
• $$S_{бок} = rac{1}{2} imes ext{периметр основания} imes ext{апофема}$$
• Периметр основания (P) = 3 * a = 3 * 2 = 6 см
• $$S_{бок} = rac{1}{2} imes 6 imes 2 = 6$$ см²
4. Площадь полной поверхности (S_полн):
• $$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$$
• $$S_{полн} = oldsymbol{ ext{√3}} + 6$$ см²

Ответ: 6 + √3 см²