19. В параллелограмме MOPT A ∈ MO, B ∈ OP, C ∈ PT, H ∈ TM и MA = MH = PB = PC. Докажите, что четырёхугольник ABCH — параллелограмм.

1) По условию четырёхугольник MOPT — параллелограмм, следовательно, ∠M = ∠P и ∠O = ∠T (по свойству 2 — противоположные углы параллелограмма равны).

2) ΔAMH = ΔCPB по двум сторонам и углу между ними, так как AM = PC, MH = PB и ∠M = ∠P. Следовательно, AH = CB.

3) Так как в параллелограмме MOPT OP = MT и OM = PT (по свойству противоположных сторон параллелограмма), то OB = OP − PB = MT − MH = TH и OA = MO − MA = PT − PC = CT.

4) ΔAOB = ΔCTH по двум сторонам и углу между ними, так как OA = CT, OB = TH и ∠O = ∠T. Значит, AB = CH.

5) Итак, AH = CB и AB = CH, следовательно, четырёхугольник ABCH — параллелограмм (по свойству 2: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то он является параллелограммом).

Ответ: ABCH — параллелограмм.