19. В параллелограмме MOPТ A ∈ MO, B ∈ OP, C ∈ PT, H ∈ TM и MA = MH = PB = PC. Докажите, что четырёхугольник ABSH — параллелограмм.

Доказательство.

1. По условию четырёхугольник MOPT — параллелограмм, следовательно, \(\angle M = \angle P\) и \(\angle O = \angle T\) по свойству 2 параллелограмма.
2. Рассмотрим треугольники \(\triangle AMH\) и \(\triangle CPB\). Имеем \(AM = PC\), \(MH = PB\), а \(\angle AMH = \angle CPB\), так как эти углы равны углам \(M\) и \(P\) параллелограмма. Поэтому \(\triangle AMH = \triangle CPB\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(AH = CB\).
3. Так как в параллелограмме \(OP = MT\) и \(OM = PT\) по свойству 1, то
   \(OB = OP - PB = MT - MH = TH\),
   а
   \(OA = MO - MA = PT - PC = CT\).
4. Рассмотрим треугольники \(\triangle AOB\) и \(\triangle CTH\). Имеем \(OA = CT\), \(OB = TH\), а \(\angle AOB = \angle CTH\), так как \(\angle O = \angle T\). Поэтому \(\triangle AOB = \triangle CTH\) по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, \(AB = CH\).
5. Итак, \(AH = CB\) и \(AB = CH\). Следовательно, четырёхугольник ABCH — параллелограмм по признаку 2: если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник — параллелограмм.

Ответ: ABCH — параллелограмм.