19. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 7. Найдите sin ∠ABC.

Пусть второй катет равен BC, а гипотенуза — AB. Площадь найдём двумя способами:

\(\frac{AC\cdot BC}{2}=\frac{AB\cdot CH}{2}\), поэтому \(25BC=7AB\), то есть \(AB=\frac{25}{7}BC\).

По теореме Пифагора: \(AB^2=AC^2+BC^2\). Подставим выражение для \(AB\): \(\left(\frac{25}{7}BC\right)^2=25^2+BC^2\).

Отсюда \(\frac{576}{49}BC^2=625\), значит \(BC=\frac{175}{24}\) и \(AB=\frac{625}{24}\).

Для угла \(ABC\) противолежащий катет — \(AC\), поэтому \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{25}{625/24}=\frac{24}{25}\).

Ответ: \(\frac{24}{25}\).