19. В прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагональ AC является биссектрисой угла A, равного 45°. Найдите длину диагонали BD, если меньшее основание трапеции равно 6√2.

Пусть BC — меньшее основание, поэтому BC = 6√2.

1. Так как угол A равен 45°, а AC — его биссектриса, то угол CAD равен 22,5°.
2. Обозначим высоту трапеции через h. В прямоугольном треугольнике, образованном боковым смещением оснований, угол при A равен 45°, поэтому разность оснований равна высоте: AD − BC = h.
3. В прямоугольном треугольнике ACD: \(\tan 22.5^\circ=\dfrac{h}{AD}\). Так как \(\cot 22.5^\circ=1+\sqrt2\), получаем \(AD=h(1+\sqrt2)\).
4. Тогда \(BC=AD-h=h\sqrt2\). По условию \(h\sqrt2=6\sqrt2\), значит \(h=6\).
5. Для диагонали BD горизонтальная составляющая равна меньшему основанию \(6\sqrt2\), а вертикальная — высоте 6. Поэтому \(BD=\sqrt{(6\sqrt2)^2+6^2}=\sqrt{72+36}=6\sqrt3\).

Ответ: \(6\sqrt3\).