19. В равнобедренном треугольнике ABC, AB = BC, AB = 15, AC = 18. Найти cos ∠B и ctg ∠B.

Проведём высоту из вершины B к основанию AC. В равнобедренном треугольнике она делит основание пополам: получаем отрезки по 9.

По теореме Пифагора высота равна \(\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12\). Площадь треугольника можно выразить как \(\frac12\cdot18\cdot12=108\), а также как \(\frac12\cdot15\cdot15\cdot\sin B\). Поэтому \(\sin B=\frac{24}{25}\).

По теореме косинусов: \(\cos B=\frac{15^2+15^2-18^2}{2\cdot15\cdot15}=\frac{7}{25}\).

Тогда \(\operatorname{ctg} B=\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{7}{24}\).

Ответ: \(\cos B=\frac{7}{25}\), \(\operatorname{ctg} B=\frac{7}{24}\).