19. В треугольнике ABC известно, что BC = 5√2 см, ∠A = 45°, ∠B = 60°. Найдите сторону AC треугольника и радиус описанной около него окружности.

Сначала найдём третий угол: \(\angle C=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\).

По теореме синусов, поскольку сторона BC лежит напротив угла A, а AC — напротив угла B:

\(AC=BC\cdot\frac{\sin B}{\sin A}=5\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{2}/2}=5\sqrt{3}\) см.

Радиус описанной окружности найдём из равенства \(BC=2R\sin A\):

\(R=\frac{BC}{2\sin A}=\frac{5\sqrt{2}}{2\cdot\sqrt{2}/2}=5\) см.

Ответ: \(AC=5\sqrt{3}\) см, \(R=5\) см.