19. Задумали четырехзначное число, все цифры которого различны, вторая и третья цифры которого равны 3 и 8. Из него вычли четырехзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Получили число 2547. Найдите сумму трех наименьших чисел, удовлетворяющих таким условиям.

Решение:

Обозначим четырехзначное число как \( \overline{abcd} \), где \( a, b, c, d \) — различные цифры.

По условию, \( b=3 \) и \( c=8 \). Таким образом, число имеет вид \( \overline{a38d} \).

Число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, будет \( \overline{d83a} \).

Разность между этими числами равна 2547:

\[ \overline{a38d} - \overline{d83a} = 2547 \]

Расшифруем запись чисел:

\[ (1000a + 300 + 80 + d) - (1000d + 800 + 30 + a) = 2547 \]

\[ 1000a + 380 + d - 1000d - 830 - a = 2547 \]

\[ 999a - 999d - 450 = 2547 \]

\[ 999(a - d) = 2547 + 450 \]

\[ 999(a - d) = 2997 \]

\[ a - d = \frac{2997}{999} \]

\[ a - d = 3 \]

Теперь нам нужно найти пары различных цифр \( a \) и \( d \), таких что \( a - d = 3 \). Также учитываем, что \( a \) не может быть нулем, так как это первая цифра четырехзначного числа, и \( a, 3, 8, d \) должны быть различными.

Возможные пары \( (a, d) \) такие, что \( a - d = 3 \) и \( a \neq d \), \( a \neq 0 \), \( a \neq 3 \), \( a \neq 8 \), \( d \neq 3 \), \( d \neq 8 \):

• Если \( d = 0 \), то \( a = 3 \) (не подходит, \( a \) не может быть равно \( c \)).
• Если \( d = 1 \), то \( a = 4 \). Число: \( 4381 \). Цифры: 4, 3, 8, 1 (различны).
• Если \( d = 2 \), то \( a = 5 \). Число: \( 5382 \). Цифры: 5, 3, 8, 2 (различны).
• Если \( d = 4 \), то \( a = 7 \). Число: \( 7384 \). Цифры: 7, 3, 8, 4 (различны).
• Если \( d = 5 \), то \( a = 8 \) (не подходит, \( a \) не может быть равно \( c \)).
• Если \( d = 6 \), то \( a = 9 \). Число: \( 9386 \). Цифры: 9, 3, 8, 6 (различны).

Таким образом, подходят следующие числа, удовлетворяющие условиям:

1. \( 4381 \)
2. \( 5382 \)
3. \( 7384 \)
4. \( 9386 \)

Найдем сумму трех наименьших чисел:

\[ 4381 + 5382 + 7384 = 17147 \]

Ответ: 17147.