19. Задумали трёхзначное число, которое делится на 13 и последняя цифра которого в 4 раза меньше первой. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке. Полученная разность оказалась меньше 400. Какое число было задумано?

Краткая запись:

• Задуманное число: ABC (где A - первая цифра, B - вторая, C - последняя)
• C = A / 4
• Число делится на 13
• ABC - CBA < 400
• Найти: ABC

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим возможные значения цифр A и C. Так как C = A / 4, и A и C - однозначные цифры, а A - первая цифра трехзначного числа (A ≠ 0), возможны следующие пары (A, C):
• (4, 1)
• (8, 2)
2. Шаг 2: Рассмотрим случай, когда A=4, C=1. Трехзначное число имеет вид 4B1.
• Проверим делимость на 13. Переберем возможные значения B (от 0 до 9):
• 401 / 13 ≈ 30.8 (не делится)
• 411 / 13 ≈ 31.6 (не делится)
• 421 / 13 ≈ 32.3 (не делится)
• 431 / 13 ≈ 33.1 (не делится)
• 441 / 13 ≈ 33.9 (не делится)
• 451 / 13 = 34.6 (не делится)
• 461 / 13 = 35.4 (не делится)
• 471 / 13 = 36.2 (не делится)
• 481 / 13 = 37. (делится!)
• 491 / 13 ≈ 37.7 (не делится)
• Итак, число 481 делится на 13.
• Проверим условие разности: ABC - CBA < 400
• 481 - 184 = 297
• 297 < 400. Это условие выполняется.
• Таким образом, число 481 является возможным задуманным числом.
3. Шаг 3: Рассмотрим случай, когда A=8, C=2. Трехзначное число имеет вид 8B2.
• Проверим делимость на 13. Переберем возможные значения B (от 0 до 9):
• 802 / 13 ≈ 61.6 (не делится)
• 812 / 13 = 62.4 (не делится)
• 822 / 13 = 63.2 (не делится)
• 832 / 13 = 64. (делится!)
• 842 / 13 ≈ 64.7 (не делится)
• 852 / 13 ≈ 65.5 (не делится)
• 862 / 13 ≈ 66.3 (не делится)
• 872 / 13 ≈ 67.0 (не делится)
• 882 / 13 ≈ 67.8 (не делится)
• 892 / 13 ≈ 68.6 (не делится)
• Итак, число 832 делится на 13.
• Проверим условие разности: ABC - CBA < 400
• 832 - 238 = 594
• 594 < 400. Это условие НЕ выполняется.
• Таким образом, число 832 не подходит.

Ответ: Задуманное число было 481.